4.放牧强度与沙漠化程度模型

问题一:沙漠化建模

沙漠化相关关系的指标因子可以考虑

风速、降水、气温（三个气象因素）
植被盖度、地表水资源、地下水位（三个地表因素）
人口数量、牲畜数量、社会经济水平（三个人文因素）等。

由于人口、牲畜数量、经济GDP只有每年的值，没有每月的值，所以我们对以下变量求每年的平均：风速、降水、气温（三个气象因素）；植被盖度、地表水资源、地下水位（三个地表因素）人口、牲畜数量、经济生产总值由2021统计年鉴得到，取2012-2020的数据风速、降水、气温由附件8得到植被盖度通过问题2拟合的cp（覆盖率）和NDVI的关系得到地表水资源由附件9径流量得到地下水位直接使用200cm湿度数据, 然后我们需要对这9个指标进行主成分分析PCA，取排名靠前的5个主成分和权重系数。沙漠化程度由着5个主成分加权得到。

主成分分析

主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。

PCA算法流程

求样本 $x_i$ 的 $n'$ 维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵 $\frac{1}{m}XX^\top$ 的前 n' 个特征值对应特征向量矩阵 P ，然后对于每个样本 $x_i$ ,做如下变换 $y_i=Px_i$ ，即达到降维的PCA目的。

下面我们看看具体的算法流程：

输入： $n$ 维样本集 $X=(x_1,x_2,…,x_m)$ ，要降维到的维数 $n'$ .

输出：降维后的样本集 Y

1.对所有的样本进行中心化 $x_{i} = x_{i} - \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{m} x_{j}$

2.计算样本的协方差矩阵 $C = \frac{1}{m} X X^{T}$

3.求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量

4.将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P

5.Y=PX即为降维到k维后的数据

熵值法

一、基本原理在信息论中，嫡是对不确定性的一种度量。不确定性越大，嫡就越大，包含的信息量越大;不确定性越小，嫡就越小，包含的信息量就越小。根据嫡的特性，可以通过计算嫡值来判断一个事件的随机性及无序程度，也可以用嫡值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响（权重)越大。比如样本数据在某指标下取值都相等，则该指标对总体评价的影响为0，权值为0. 嫡权法是一种客观赋权法，因为它仅依赖于数据本身的离散性。

二、熵值法步骤 1.对n个样本，m个指标，则Cij为第i个样本的第j个指标的数值$(i=1,…,n;j=1,..,m)$; 2.指标的归一化处理:异质指标同质化由于各项指标的计量单位并不统- ,因此在用它们计算综合指标前,先要进行标准化处理,即把指标的绝对值转化为相对值,从而解决各项不同质指标值的同质化问题。另外,正向指标和负向指标数值代表的含义不同(正向指标数值越高越好,负向指标数值越低越好) ,因此,对于正向负向指标需要采用不同的算法进行数据标准化处理:

\begin{aligned} x_{i j}^{'} & = \frac{x_{i j} - min {x_{1 j}, \dots, x_{n j}}}{max {x_{1 j}, \dots, x_{n j}} - min {x_{1 j}, \dots, x_{n j}}} \\ x_{i j}^{'} & = \frac{max {x_{1 j}, \dots, x_{n j}} - x_{i j}}{max {x_{1 j}, \dots, x_{n j}} - min {x_{1 j}, \dots, x_{n j}}} \end{aligned}

我们令归一化后的数据$x_{ij}^{‘}$仍记作$x_{ij}$ 3.计算第j项指标下第i个样本值占该指标的比重:

$p_{i j} = \frac{x_{i j}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i j}}, i = 1, \dots, n, j = 1, \dots, m$ 4.计算第 $ j $ 项指标的熵值 : $e_{j} = - k \sum_{i = 1}^{n} p_{i j} \ln (p_{i j}), j = 1, \dots, m$ 其中， $k=1 / \ln (n)>0$. 满足 $e_{j} \geq 0$ 5.计算信息熵冗余度 (差异) : $d_{j} = 1 - e_{j}, j = 1, \dots, m$

6.计算各项指标的权重 :

$w_{j} = \frac{d_{j}}{\sum_{j = 1}^{m} d_{j}}, j = 1, \dots, m$ 7.计算各样本的综合得分： $s_{i} = \sum_{j = 1}^{m} w_{j} x_{i j}, i = 1, \dots, n$ 其中， $x_{i j}$ 为标准化后的数据。

问题二:给出定量的土壤板结化定义

关于土壤板结化程度：土壤湿度w越少，容重c越大，有机物含量o越低，土壤板结化程度越严重。土壤湿度使用10cm湿度，有机物含量使用附件14有机碳数据，然后我们使用熵权法确定3个评价指标的权重，土壤板结化程度由这3个量加权得到（注：这里我们没有容重这个数据，可以编或者忽略这个因素。） Y2=b1x1+b2x2+b3*x3 其中x1~x3分别代表上面3个指标，Y2为土壤板结化程度

问题三:给出放牧策略模型，使得沙漠化程度指数与板结化程度最小

给出放牧策略模型，使得沙漠化程度指数与板结化程度最小。两个优化目标，优化变量为放牧策略，对于多目标优化问题，可以将两个优化目标加权求和变成单目标求解

优化目标Y3=沙漠化程度的权重沙漠化程度+（1-沙漠化程度的权重）土壤板结化程度求最优的放牧强度，使得Y3最小

下面的公式中，$x1~x9$代表沙漠化程度相关的因素，$x1^~x3^$代表土壤板结化程度相关因素。这一共12个因素，其中几个因素和问题1的模型中的变量有对应关系，对于没有对应关系的因素，我们直接将它们取最近一年（2021年）的值。通过迭代或者遗传算法或者粒子群等等算法（算法很多，可以语文建模）求解这个模型，我们可以得到最优的放牧强度（放牧方式不用管），最优的放牧强度可以编（语文建模） $S (t) = \arg min Y 3 = λ Y 1 + (1 - λ) Y 2$ ${\begin{cases} Y 1 = a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} + a_{4} x_{4} + a_{5} x_{5} + a_{6} x_{6} + a_{7} x_{7} + a_{8} x_{8} + a_{9} x_{9} \\ Y 2 = b_{1} x_{1}^{*} + b_{2} x_{2}^{*} + b_{3} x_{3}^{*} \\ x_{2} = P \\ x_{4} = c_{p} \\ x_{6} = W \\ x_{1}^{*} = W \\ x_{3}^{*} = Z_{w} (t) \\ \frac{d Z_{w} (t)}{d t} = a Z_{w} (t) (1 - \frac{Z_{w} (t)}{b}) - c S (t) Z_{w} (t) \\ Δ W = P - (E t_{a} + G_{d} + I C_{store}) \\ I C_{store} (t) = c_{p} (t) \cdot I C_{max} (t) \cdot [1 - \exp (- k \cdot P (t) / I C_{max} (t))] \\ I C_{max} (t) = 0.935 + 0.498 \cdot L A I (t) - 0.00575 \cdot L A I (t)^{2} \\ c_{p} (t) = [α^{*} - W (e^{ε_{g}, w (t) / w^{*}} - 1) - 1.8 S (t)] (1 - e^{- ε, ε^{g} (t) / w^{*}}) \\ L A I (t) = a \cdot \exp (k \cdot N D V I) \\ W (t) = \int_{0 - 100 c m} β (t, h) d h \end{cases}$